Statik problemlerin sonlu elemanlar yöntemi ile çözümü için elemana etki eden dış kuvvetler ile yer değiştirmeler arasındaki ilişki lineer denklem takımı ile ifade edilebilmektedir. Elastik bir problem için yay ele alınabilir. Yaya uygulanan kuvvet, yaydaki uzama ile yay katsayısının çarpımıdır.
Sonlu elemanlar yönteminin çözümünde de yapının direngenlik matrisi, yapıda oluşan deformasyonlar ve dış kuvvete bağlı aşağıdaki denklem ele alınmaktadır.
k.x=F
K= global direngenlik matrisi
x= yerdeğiştirme vektörü
F= yapıya uygulanan dış kuvvetler
tek bir yayı ele aldığımızda;
u1, u2= yayda oluşan yerdeğiştirmeler,
f1,f2= yaya uygulanan kuvvetler
k= yay katsayısıdır
Buna göre yayda oluşan net yerdeğiştirme =
yaya uygulanan dış kuvvet=
kuvvet dengesi=
f1 ve f2 kuvvetlerini de ayrı olarak ifade edersek=
iki denklemi matris formunda yazdığımızda=
başlangıç denklemini ele aldığımızda,
direngenlik matrisini aşağıdaki şekilde elde ederiz=
Aşağıdaki statik problemi ele alalım:
Bu problemde kesit alanları belirtilen kademeli bir çelik çubuğa eksenel 10 kN bası yükü uygulanmaktadır. Çelik malzeme için elastisite modülü 210 GPa alınmıştır.
Problemin çözümünde ilk adım yapıyı düğüm noktası ve elemanlara bölmektir. Aşağıda belirtilen şekilde sistem ayrıklaştırılarak iki eleman ve üç düğüm noktası ile tanımlanabilir.
Her bir düğüm noktasının tek serbestlik derecesi olduğu kabulü yapılarak direngenlik matrisi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:
Her iki elemanın direngenlik matrislerini aşağıdaki şekilde açabiliriz:
Burada, A: kesit alanı, E:Elastisite modülü, L=uzunluk
Her iki elemanın direngenlik matrislerini çıkardıktan sonra iki elemanın matrisleri birleştirilerek global direngenlik matrisi elde edilmektedir.
kuvvet ve yerdeğiştirmelerin vektörel matrisleri de aşağıdaki şekilde tanımlanmaktadır:
Son olarak global sistemin denklemi aşağıdaki şekilde oluşturulmuştur:
Modelde, 1. düğüm noktası sabittir ve buradaki yerdeğiştirme 0 dır. Bu sebeple matrisin birinci satırını ve sütununu çıkartabiliriz. Kalan denklemi ele aldığımızda, x2 ve x3 yerdeğiştirme değerlerini bulabiliriz.
Yerdeğiştirmeleri kullanarak gerinim, gerilme ve kuvvet değerlerine ulaşabiliriz.
Gerinim:
Gerilme:
Kuvvet:
