Ana Sayfa Teorik Bilgiler Katı Cisimler Mekaniği Hooke Kanunu

Hooke Kanunu

1295
0
Paylaş

Malzemelerin yük altındaki şekil değişimlerini, elastik ve plastik olarak iki başlık altında ele alıyoruz. Elastik şekil değişimi, yük kaldırıldığında malzemenin tekrar eski şekline geri döndüğünü, plastik şekil değişimi ise şekil değişiminin kalıcı olduğunu ifade ediyor.

Bu başlık altında üzerinde duracağımız elastik şekil değişiminin matematiksel kökeni, günümüzden yaklaşık 300 yıl kadar önce, İngiliz bilim adamı Robert Hooke’un yayların davranışı üzerine yaptığı bazı gözlemlere dayanıyor. Hooke yaptığı deneylerde, bir ucunu tavana astığı farklı uzunluktaki yayların diğer uçlarına aynı ağırlığa sahip yükler asarak, yaylardaki esneme miktarlarını ölçüyor. Bulduğu sonuç ise oldukça ilginç: yaylar her ne kadar farklı miktarlarda esniyor gibi görünseler de, oluşan esneme miktarları yayların ilk uzunlukları ile oranlandığında, bütün yayların aynı oranda esnediği ortaya çıkıyor. Örnek vermek gerekirse, 10 santimetre uzunluğundaki bir yayın uzunluğu 100 gramlık bir yük asıldığında 15 santimetreye çıkarken (yani toplam uzunluğu %50 artarken) 16 santimetre uzunluğundaki bir yayın toplam uzunluğu 24 santimetreye çıkıyor (yani uzunluğu yine %50 artıyor).

Hooke’un bu gözlemini, matematiksel bir ifadeyle aşağıda gösterildiği gibi yazabiliyoruz. Yayın ucuna asılan yük vasıtasıyla uygulanan kuvveti F, oluşan esneme miktarını da x ile göstererek, yay denklemini

eşitliği ile ifade ediyoruz. Bu denklemdeki k sabiti, uygulanan kuvvet ile oluşan esneme miktarı arasındaki orantı sabitini temsil ediyor. Tahmin edebileceğiniz üzere, bu katsayının değeri yayın kalınlığı ve yayın yapıldığı malzeme gibi değişkenlere bağlı olarak değişiklik gösteriyor.

Şimdi, Hooke’un yapmış olduğu bu deneyi yaylar üzerinde değil, uzun, silindir geometriye sahip çubuklar üzerinde tekrarladığımızı düşünelim. Bu durumda, çubuğun altına astığımız ağırlık çubuğun yüzey alanı üzerine etki edeceği için, çubukta oluşacak esnemeyi kuvvet üzerinden değil, çubukta oluşan gerilim üzerinden değerlendirebiliriz. Çubukta oluşan esneme miktarını da çubuğun ilk uzunluğuna oranlayarak, yani gerinim olarak ifade ettiğimizde, yukardaki verdiğimiz yay denklemini gerilim ve gerinim üzerinden, aşağıdaki şekilde yazabiliriz:

Elastik malzemelerde, gerilim ve gerinim arasındaki ilişkinin doğrusallığını gösteren bu eşitliğe, Hooke kanunu adını veriyoruz. Yay denkleminde yer alan yay sabitinin yerine koyduğumuz ve E ile gösterdiğimiz sabit, yay sabitinde olduğu gibi, malzemede oluşan gerilim ile gerinim arasındaki oranı veriyor. Bu matematiksel ifade her ne kadar ilk olarak İsviçre’li matematikçi ve fizikçi Leonhard Euler tarafından şekillendirilmiş olsa da, konu üzerinde daha sonra çalışmalar yapan İngiliz bilim adamı Thomas Young’a ithafen bu sabite (E) Young modülü, ya da elastik modül adını veriyoruz. Aşağıdaki resimde elastik bir malzemedeki gerilim ve gerinim ilişkisi, Young modülüyle birlikte gösteriliyor.

Young modülü, özünde, bir miktar elastik gerinim yaratabilmek için malzemeye uygulanması gereken gerilim miktarını ifade ediyor. Dolayısıyla, bu sabiti malzemenin elastik esnemeye karşı gösterdiği direncin bir ölçüsü olarak da değerlendirebiliriz. Bir malzemenin yüksek bir Young modülüne sahip olması, elastik olarak esnemesinin zor olduğunu, düşük bir değere sahip olması da nispeten kolayca, elastik biçimde esneyebileceğini gösteriyor. Örnek olarak oldukça elastik bir malzeme olan kauçuğun Young modülü 0.01 – 0.1 GPa civarında iken, çelikler için bu değer 200 GPa civarında (yani kauçuğun 2000 – 20000 katı büyüklüğünde) seyrediyor.

Elastik esnemenin atom düzeyinde nasıl gerçekleştiği bu konu başlığının dışında kaldığı için, konunun bu tarafını şimdilik kapsam dışında bırakacağız. Yine de burada bir parantez açıp, bu esnemenin doğasından biraz bahsetmemizde fayda var. Bildiğiniz gibi elastik esneme malzemede kalıcı bir şekil değişimi yaratmıyor. Yani uygulanan yük kaldırıldığında, malzeme yük uygulanmadan önceki şekline geri dönüyor. Bunun ardındaki ana neden, elastik şekil değişimi sırasında malzemelerdeki atomların konumlarında bir değişiklik olmaması. Elastik esneme temel olarak, atomlar arası bağların birer yay misali bir miktar esneyip, yük kalktığında tekrar denge uzunluklarına dönmeleriyle sağlanıyor. Dolayısıyla bir malzemenin elastik esnemeye gösterdiği direncin, yani Young modülünün, atomlar arası bağların uzunluğu ile, diğer bir deyişle, katı haldeki atomlar arasındaki denge mesafesi ile yakından ilgili olduğunu söyleyebiliriz.

Son olarak, Young modülünün atomlar arası mesafeyle ilgili olması nedeniyle sıcaklık ile değişim gösterdiğini belirtelim. Young modülündeki bu değişim, malzeme ısıtıldığında atomların kafes noktalarındaki titreşimlerinin artması sonucu, atomlar arası denge mesafesinin az da olsa artış göstermesinden kaynaklanıyor. Atomlar arasındaki mesafe sıcaklıkla arttıkça, atomlar arasındaki etkileşim az bir miktar da olsa azalacağı için, malzemenin elastik esnemeye karşı direncinde de (yani Young modülünde) azalma meydana geldiğini gözlemliyoruz.

Bir Cevap Yazın