Ana Sayfa Genel SEM ile Lineer Statik Analiz Çözümü

SEM ile Lineer Statik Analiz Çözümü

741
0
Paylaş

Statik problemlerin sonlu elemanlar yöntemi ile çözümü için elemana etki eden dış kuvvetler ile yer değiştirmeler arasındaki ilişki lineer denklem takımı ile ifade edilebilmektedir. Elastik bir problem için yay ele alınabilir. Yaya uygulanan kuvvet, yaydaki uzama ile yay katsayısının çarpımıdır.

Sonlu elemanlar yönteminin çözümünde de yapının direngenlik matrisi, yapıda oluşan deformasyonlar ve dış kuvvete bağlı aşağıdaki denklem ele alınmaktadır.

k.x=F

K= global direngenlik matrisi

x= yerdeğiştirme vektörü

linner_statik_analiz_çözümü
Basit yay Sonlu elemanlar Modeli

F= yapıya uygulanan dış kuvvetler

tek bir yayı ele aldığımızda;

u1, u2= yayda oluşan yerdeğiştirmeler,

f1,f2= yaya uygulanan kuvvetler

k= yay katsayısıdır

Buna göre yayda oluşan net yerdeğiştirme =

f01

yaya uygulanan dış kuvvet=

f02

kuvvet dengesi=

f03

f1 ve f2 kuvvetlerini de ayrı olarak ifade edersek=

f04

iki denklemi matris formunda yazdığımızda=

f05

başlangıç denklemini ele aldığımızda,

f07

direngenlik matrisini aşağıdaki şekilde elde ederiz=

f08

Aşağıdaki statik problemi ele alalım:

Basit Sonlu Elemanlar Methodu Örneği
Basit Sonlu Elemanlar Methodu Örneği

Bu problemde kesit alanları belirtilen kademeli bir çelik çubuğa eksenel 10 kN bası yükü uygulanmaktadır. Çelik malzeme için elastisite modülü 210 GPa alınmıştır.

Problemin çözümünde ilk adım yapıyı düğüm noktası ve elemanlara bölmektir. Aşağıda belirtilen şekilde sistem ayrıklaştırılarak iki eleman ve üç düğüm noktası ile tanımlanabilir.


 Her bir düğüm noktasının tek serbestlik derecesi olduğu kabulü yapılarak direngenlik matrisi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

f00

Her iki elemanın direngenlik matrislerini aşağıdaki şekilde açabiliriz:

Burada, A: kesit alanı, E:Elastisite modülü, L=uzunluk

f001 f002

Her iki elemanın direngenlik matrislerini çıkardıktan sonra iki elemanın matrisleri birleştirilerek global direngenlik matrisi elde edilmektedir.

f003

kuvvet ve yerdeğiştirmelerin vektörel matrisleri de aşağıdaki şekilde tanımlanmaktadır:

f004

Son olarak global sistemin denklemi aşağıdaki şekilde oluşturulmuştur:

f005

Modelde, 1. düğüm noktası sabittir ve buradaki yerdeğiştirme 0 dır. Bu sebeple matrisin birinci satırını ve sütununu çıkartabiliriz. Kalan denklemi ele aldığımızda, x2 ve x3 yerdeğiştirme değerlerini bulabiliriz.

f006 f007

Yerdeğiştirmeleri kullanarak gerinim, gerilme ve kuvvet değerlerine ulaşabiliriz.

Gerinim:

f008

Gerilme:

f009Kuvvet:

f010

Bir Cevap Yazın