Ana Sayfa Teorik Bilgiler Katı Cisimler Mekaniği Sonlu Elemanlar Yöntemi

Sonlu Elemanlar Yöntemi

1868
0

Sonlu elemanlar yöntemi analitik olarak hesaplanması zor, karmaşık problemlerin, belirli kabuller yapılarak sayısal yöntemler ile çözülmesidir.

Başka bir ifade ile, sonlu elemanlar yöntemi, tanımlı bir problem alanı için oluşturulan kısmı diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümüdür. Kısmi diferansiyel çözüm için ilk adım problemin matematiksel fonksiyon haline getirilmesidir.

Statik, dinamik, yorulma, termal ve akışkanlar mekaniği gibi pek çok mühendislik problemi SEY ile kolaylıkla çözülebilmektedir. Bu yöntemde ilk adım, problemi sonlu elemanlar olarak adlandırılan küçük alt yapılara ayırmaktır.  Bu işlem ağ yapısı örme olarak adlandırılmaktadır. Ağ yapısı, düğüm noktaları ve bunları birleştiren elemanlardan oluşmaktadır. Problem çözümünde hesaplanmak istenen büyüklük, düğüm noktalarındaki değerler kullanılarak interpolasyon işlemi ile elde edilmektedir.

Problemin Ayrıklaştırılması (Discretization of the Problem)

Gerçek hayatta nesneler küçük parçacıklardan, parçacıklar moleküllerden, moleküller ise atomlardan oluşmaktadır. Her bir parçacık birbirine kütle çekim kuvveti ile bağlıdır. Bu sebeple yapılar arasında sürekli bir bağlantı bulunmaktadır. Karşılaştığımız problemlerin sayısal çözümlerinin yapılabilmesi için parçalar ayrıklaştırılmaktadır. Örneğin, detaylı bir montaj  modelinde,yapısal bir problem ile ilgilendiğimizi düşünelim. Fiziksel modelleri bütünüyle sonlu elemanlar analizine taşımamız çok zor ve karmaşık olacağından öncelikle geometrik model üzerinden, incelenmek istenmeyen veya sonuçlara daha az etkisi olduğu düşünülen parçalar modelden çıkartılarak sadeleştirme yapılmalıdır.  Ardından parçalara ağ apısı oluşturulmalıdır. Aynı zamanda, modeldeki civata, kaynak, perçin gibi bağlantı elemanlarının yerine bir boyutlu modeller, ağırlıklar yerine de noktasal kütleler tanımlanarak problem daha sade bir hale getirilebilir. Model ayrıklaştırılmasının temeli ise parçalar üzerinde ağ yapılarının oluşturulmasıdır. Ağ yapısı eleman ve düğüm noktalarından oluşmaktadır. Düğüm noktaları atomlar olarak düşünülebilir. Düğüm noktaları arasındaki boşluklar da elemanlar olarak tanımlanmaktadır.  Genel bir ifade ile, sonlu elemanlar analizinde,  problem çözümleri, düğüm noktalarında yapılmakta ve sonuçlar, elemanlar üzerinde interpole edilerek problemçözümü gerçekleştirilmektedir. Sonlu elemanlar analizlerinde kullanılan elemanlar, bir boyutlu çizgisel elemanlar, 2 boyutlu kabuk elemanlar ve 3 boyutlu katı elemanlar olarak tanımlanabilir.

sonlu_elemanlar_3-300x143 Sonlu Elemanlar Yöntemisonlu_elemanlar_11 Sonlu Elemanlar Yöntemisonlu_elemanlar_2 Sonlu Elemanlar YöntemiŞekil Fonksiyonları (Shape Functions)
Alan değişkenlerindeki değerler, düğüm noktalarında hesaplanmakta ve interpolasyon fonksiyonları yardımıyla elemanlar içerisinde istenen sonuca ulaşılmaktadır. Üç düğüm noktasına sahip üçgen bir elemanı ele alırsak, alan değişkeni aşağıdaki şekilde  ifade edilmektedir:

sonlu_elemanlar_7-300x30 Sonlu Elemanlar Yöntemi

Serbestlik Derecesi (DOF)
Serbestlik derecesi sonlu elemanlar yöntemi için çok önemli bir kavramdır. Bir ağ yapısının toplam serbestlik derecesi; toplam düğüm sayısının her bir düğüm noktasının serbestlik derecesi ile çarpımına eşittir.sonlu_elemanlar_8-300x165 Sonlu Elemanlar YöntemiSerbestlik derecesi, ağ yapısında kullanılan eleman tipine (1D, 2D, 3D), eleman ailesine (ince kabuk eleman, düzlem gerilme eleman, düzlem gerinim, vs…) ve analiz tipine bağlıdır. Örneğin,  yapısal bir analizde ince kabuk elemanlar her bir düğüm noktasında 6 serbestlik derecesine sahiptir (3 ilerleme, 3 dönme). Aynı eleman ,termal analizde kullanıldığında ise düğüm noktasında tek serbestlik derecesine sahiptir (sıcaklık bilinmiyorsa)

Sonlu Elemanlar Analizi Adımları
Ön İşlem Adımı:
İlk aşamada, analizi yapılacak geometrik yapı ele alınarak modelde gerekli sadeleştirmeler yapılır. Geometrik model üzerinden, incelenmek istenmeyen veya sonuçlara daha az etkisi olacak parçalar çıkartılır. Geometriler üzerinde yine sonucu etkilemeyeceği düşünülen ufak delikler, radyuslar kaldırılabilir. Sadeleştirme işleminin ardından kullanılacak eleman tipi seçilir ve ağ yapısı oluşturulur. Geometrik özellikleri tanımlanır (kalınlık, uzunluk, atalet momenti, vs…).  Malzeme özellikleri ve sınır koşulları tanımlanır.  Varsa temas tanımlamaları yapılır.

Çözüm Adımı:
Düğüm noktasındaki değerler ve ardından elemanlardaki sonuçlar hesaplanır.

Gerilme, deformasyon, kuvvet gibi sonuçlar çıkartılır

Son İşlem Adımı:
Sonuçlar incelenir.

 Ağ Yapısının Oluşturulması

sonlu_elemanlar_9-300x54 Sonlu Elemanlar Yöntemi

Sonlu elemanlar analizinde oluşturulan ağ yapısı, analiz sonuçlarını doğrudan etkilemektedir. Temel amaç, geometriyi olabildiğince temsil edebilecek bir ağ yapısının seçilmesidir. Aşağıdaki örnekte  ele alınan bir daire  etrafında çizgiler oluşturulmuştur.  Resimlerden görüldüğü gibi çizgi sayısı arttıkça daire daha gerçeğe yakın olarak modellenebilmekte ve hata marjin düşmektedir. Çizgileri sonlu elemanlar olarak düşünebiliriz.

Verilen örnekte daire alanı =100 birim dir. 3 çizgi kullanıldğında alan 41, 4 çizgi kullanıldığında da 64 birim çıkmaktadır. Çizgi sayısı arttıkça sonuçlara yakınlık artacak fakat çözüm süresi de artacaktır.  Analizde kullanılan eleman sayısı çok önemlidir. Analizci, eleman sayısı ile istenen doğruluk arasında bir denge kurmalıdır. Elindeki kaynakları değerlendirerek optimum bir ağ yapısı seçmelidir.

sonlu_elemanlar_10-300x55 Sonlu Elemanlar Yöntemi

Kimler Neler Demiş?

avatar

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

  Subscribe  
Bildir